Lemma von Yoneda

Das Lemma von Yoneda, nach Nobuo Yoneda, ist eine mathematische Aussage aus dem Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt die Menge der natürlichen Transformationen zwischen einem Hom-Funktor und einem weiteren Funktor.

Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen.

Motivation

Es sei ${\mathbf {Set}}$ die Kategorie der Mengen (mit den üblichen Funktionen als Morphismen). Es sei ${\mathcal C}$ eine lokal kleine Kategorie, so dass zu je zwei Objekten $X,Y\in {\mathcal C}$ die Morphismen zwischen und eine Menge und somit ein Objekt in ${\mathbf {Set}}$ bilden. Für jedes Objekt der Kategorie ${\mathcal C}$ hat man den partiellen Hom-Funktor $H^{X}\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set}$ , der für Objekte $Y\in \mbox{Ob}({\mathcal C})$ und Morphismen $(f\colon Y\rightarrow Z) \in \mbox{Mor}({\mathcal C})$ wie folgt definiert ist:

$H^X(Y) := \mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ , wobei $\mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ eine in diesem Zusammenhang übliche alternative Schreibweise für $\mbox{Mor}_{\mathcal C}(X,Y)$ ist.
$H^X(f)\colon H^X(Y)\rightarrow H^X(Z), \, g\mapsto f\circ g$ .

Sei nun ein weiterer Funktor von ${\mathcal C}$ nach ${\mathbf {Set}}$ . Man kann nun die Frage stellen, welche natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren H^X und bestehen. Hier gibt das folgende Yoneda-Lemma eine Antwort.

Aussage

Sind $T\colon{\mathcal C}\rightarrow \mbox{Set}$ ein Funktor und ein Objekt aus ${\mathcal C}$ , so ist $\eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X)$ eine Bijektion von der Menge aller natürlichen Transformationen $\eta\colon H^X\rightarrow T$ in die Menge T(X) .

Dazu beachte man, dass eine natürliche Transformation $\eta\colon H^X\rightarrow T$ definitionsgemäß jedem Objekt aus ${\mathcal C}$ einen Morphismus $\eta_Y\colon H^X(Y)\rightarrow T(Y)$ zuordnet, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind (siehe natürliche Transformation). Insbesondere hat man einen Morphismus $\eta_X\colon H^X(X)\rightarrow T(X)$ in der Kategorie Set (das heißt einfach eine Abbildung), also kann man tatsächlich $\eta_X(\mbox{id}_X)$ wie in obigem Lemma bilden und erhält ein Element aus T(X) . Daher ist die Abbildung ${\mathcal Y}\colon \eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X)$ wohldefiniert; man nennt sie auch die Yoneda-Abbildung oder den Yoneda-Isomorphismus.

Der Beweis ist einfach und beleuchtet die Situation im Yoneda-Lemma; daher wird er hier wiedergegeben: Ist $\eta\colon H^X\rightarrow T$ eine natürliche Transformation, ein Objekt aus ${\mathcal C}$ und $f\in H^X(Y)$ , das heißt ist ein ${\mathcal C}$ -Morphismus $X\rightarrow Y$ , so ist das folgende Diagramm nach Definition der natürlichen Transformation kommutativ:

$\begin{array}{ccc} H^X(X)=\mbox{Hom}(X,X) & \stackrel{\eta_X}{\longrightarrow} & T(X)\\ \downarrow_{H^X(f)} & & \downarrow_{T(f)}\\ H^X(Y)=\mbox{Hom}(X,Y) & \stackrel{\eta_Y}{\longrightarrow} & T(Y) \end{array}$

Daraus ergibt sich $\eta_Y(f) = \eta_Y(f\circ \mbox{id}_X) = (\eta_Y\circ H^X(f))(\mbox{id}_X) = (T(f)\circ \eta_X)(\mbox{id}_X) = T(f)(\eta_X(\mbox{id}_X))$ .

Daher ist $\eta_Y$ durch und $\eta_X(\mbox{id}_X)$ bereits eindeutig festgelegt, woraus sich die Injektivität der Yoneda-Abbildung ergibt. Diese Formel wird auch zur Surjektivität herangezogen. Ist nämlich $w \in T(X)$ , so definiere man für jedes Objekt aus ${\mathcal C}$ die Abbildung $\eta_Y\colon H^X(Y)\rightarrow T(Y)$ durch $\eta_Y(f)\,:=\,T(f)(w)$ . Dann kann man nachrechnen, dass dadurch eine natürliche Transformation $\eta$ von H^X nach definiert wird, die unter der Yoneda-Abbildung auf abgebildet wird.

Bemerkungen

Insbesondere zeigt das Yoneda-Lemma, dass die natürlichen Transformationen zwischen Funktoren und eine Menge bilden, denn die Klasse der natürlichen Transformationen zwischen und steht in bijektiver Beziehung zu einer Menge, nämlich , und ist daher selbst eine.
Abbildungen der oben vorgestellten Art $\eta_Y\colon H^X(Y)\rightarrow T(Y), \eta_Y(f)\,:=\,T(f)(w)$ führen zum Begriff der Darstellbarkeit von Funktoren.
Hat man zusätzliche Strukturen auf den Morphismenmengen (angereicherte Kategorien), wie zum Beispiel im Falle abelscher Kategorien, so ersetzt man die Zielkategorie Set des Hom-Funktors gerne durch eine entsprechende Kategorie, etwa durch die Kategorie Ab der abelschen Gruppen. Um dann wieder auf die hier betrachtete Situation zu kommen, hat man lediglich den Vergissfunktor $\mbox{Ab}\rightarrow \mbox{Set}$ hinterzuschalten.

Yoneda-Einbettung

Als eine einfache Anwendung des Yoneda-Lemmas wird hier die Yoneda-Einbettung behandelt. Die Yoneda-Einbettung wird in der Definition der Ind-Objekte und Pro-Objekte verwendet.

Ist ${\mathcal C}$ eine lokal kleine Kategorie, so bezeichne $[{\mathcal C},\mbox{Set}]$ die Kategorie der Funktoren H^X mit den natürlichen Transformationen als Morphismen. Man beachte dazu, dass die natürlichen Transformationen zwischen zwei Funktoren H^X und H^Y nach dem Yoneda-Lemma eine Menge bilden, es liegt also tatsächlich eine Kategorie vor. Weiter sei mit ${\mathcal C}^{op}$ die duale Kategorie bezeichnet. In dieser Situation definiere man den Funktor $H^*\colon{\mathcal C}^{op}\rightarrow [{\mathcal C},\mbox{Set}]$ durch folgende Daten:

, die Funktoren sind die Objekte in $[{\mathcal C},\mbox{Set}]$ .
Für einen Morphismus $f\colon X\rightarrow Y$ sei $H^*(f)\colon H^X \rightarrow H^Y$ definiert durch $H^*(f)_Z\colon H^X(Z)\rightarrow H^Y(Z),\, g\mapsto g\circ f$ , wobei $Z\in \mbox{Ob}({\mathcal C})$ . Dann ist eine natürliche Transformation, also ein Morphismus in $[{\mathcal C},\mbox{Set}]$ .

Leicht prüft man nach, dass hierdurch tatsächlich ein Funktor $H^*\colon{\mathcal C}^{op}\rightarrow [{\mathcal C},\mbox{Set}]$ definiert ist. Dabei ist auf der linken Seite die duale Kategorie gewählt, da sonst „in die falsche Richtung“ laufen würde. Es gilt nun

Yoneda-Einbettung: Der Funktor $H^*\colon{\mathcal C}^{op}\rightarrow [{\mathcal C},\mbox{Set}]$ ist eine volltreue Einbettung.

Vertauscht man die Rollen von ${\mathcal C}$ und ${\mathcal C}^{op}$ , so erhält man eine volltreue Einbettung ${\mathcal C} \rightarrow [{\mathcal C}^{op},\mbox{Set}]$ .

Der Beweis besteht in einer Anwendung des Yoneda-Lemmas. Zur Volltreue muss gezeigt werden, dass die Abbildungen

$H^*_{X,Y}\colon \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y) \rightarrow \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X, H^*Y),\, f\mapsto H^*(f)$

bijektiv sind. Für $\eta \in \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X,H^*Y)$ , das heißt für eine natürliche Transformation $\eta\colon H^X\rightarrow H^Y$ , ist ${\mathcal Y}(\eta) \in H^Y(X) = \mbox{Hom}_{\mathcal C}(Y,X) = \mbox{Hom}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y)$ , das heißt die Yoneda-Abbildung definiert eine Abbildung

${\mathcal Y}_{X,Y}: \mbox{Mor}_{[{\mathcal C},\mbox{Set}]}(H^*X,H^*Y) \rightarrow \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y), \eta \mapsto \eta_X(\mbox{id}_X)$ .

Da diese Abbildung nach dem Yoneda-Lemma bijektiv ist, und weil für alle $f\in \mbox{Mor}_{{\mathcal C}^{op}}(X,Y)$ folgendes gilt: ${\mathcal Y}_{X,Y}H^*_{X,Y}(f) = {\mathcal Y}_{X,Y}(H^*(f)) = H^*(f)_X(\mbox{id}_X) = \mbox{id}_X \circ f = f$ ,

ist $H^*_{X,Y}={\mathcal Y}_{X,Y}^{-1}$ und daher ebenfalls bijektiv. Deshalb ist H^* volltreu.

Um einzusehen, dass H^* sogar eine Einbettung ist, muss die Injektivität des Funktors auf der Klasse der Objekte gezeigt werden (siehe Artikel treuer Funktor). Sind und zwei verschiedene Objekte aus $\mbox{Ob}({\mathcal C}^{op})$ , so gilt $\mbox{Hom}_{\mathcal C}(X,X) \cap \mbox{Hom}_{\mathcal C}(Y,X) = \emptyset$ , weil ein Morphismus nicht zwei verschiedene Definitionsbereiche haben kann, und daraus folgt $H^X\not=H^Y$ , das heißt $H^*(X)\not=H^*(Y)$ . Daher ist H^* auch eine Einbettung.

Literatur

Horst Schubert: Kategorien (Heidelberger Taschenbücher; Bd. 15–16). Springer, Berlin 1970 (2 Bde.).

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de