S3 (Gruppe)

Die sogenannte symmetrische Gruppe $S_{3}$ bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie eine bestimmte Gruppe mit 6 Elementen. Sie lässt sich beschreiben als Gruppe der sechs Permutationen einer dreielementigen Menge. Alternative Bezeichnungen sind ${\mathfrak {S}}_{3}$ und $Sym_{3}$ . Sie ist isomorph mit der Diedergruppe D_3 , der Gruppe der Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich.

Einführung

Die Wirkungen der Abbildungen , , $s_{1}$ , $s_{2}$ und

Betrachtet man die Kongruenzabbildungen, die ein gleichseitiges Dreieck in sich selbst überführen, so findet man 6 Möglichkeiten

die identische Abbildung ,
die Drehung um 120° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
die Drehung um 240° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
drei Spiegelungen $s_{1},s_{2}$ und an den drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.

Diese Kongruenzabbildungen lassen sich durch Hintereinanderausführung kombinieren, wodurch man wieder eine Kongruenzabbildung erhält. Man schreibt einfach zwei Kongruenzabbildungen (oft ohne Verknüpfungszeichen, oder mit $\circ$ ) nebeneinander und meint damit, dass

zuerst die rechtsstehende und dann die linksstehende

Kongruenzabbildung auszuführen ist.^[1] Die Schreibweise d^2 macht bereits deutlich, dass die Drehung um 240° gleich der zweifachen Hintereinanderausführung der Drehung um 120° ist.

Man erhält auf diese Weise die sechselementige Gruppe $S_{3}=\left\{e,d,d^{2},s_{1},s_{2},s_{3}\right\}$ aller Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich. Trägt man alle so gebildeten Verknüpfungen in eine Verknüpfungstafel ein, so erhält man

$\cdot$				$s_{1}$	$s_{2}$
				$s_{1}$	$s_{2}$
					$s_{1}$	$s_{2}$
				$s_{2}$		$s_{1}$
$s_{1}$	$s_{1}$	$s_{2}$
$s_{2}$	$s_{2}$		$s_{1}$
		$s_{1}$	$s_{2}$

Will man das Produkt für zwei Elemente a,b aus $S_{3}$ ausrechnen, so suche man in der Verknüpfungstafel die mit gekennzeichnete Zeile und mit gekennzeichnete Spalte auf; am Schnittpunkt aus dieser Zeile und dieser Spalte steht das Produkt.

Verallgemeinert man diese Konstruktion, indem man das gleichseitige Dreieck durch ein regelmäßiges -Eck ersetzt, so kommt man zum Begriff der Diedergruppe. Daher wird die hier besprochene Gruppe $S_{3}$ auch mit D_3 bezeichnet.

Elemente der S₃ als Permutationen

Eine Kongruenzabbildung des gleichseitigen Dreiecks ist bereits dadurch eindeutig festgelegt, wie die mit 1, 2 und 3 bezeichneten Ecken aufeinander abgebildet werden. Jedes Element der $S_{3}$ kann daher als Permutation der Menge $\{1,2,3\}$ aufgefasst werden. Sie sehen im Folgenden zuerst die Zweizeilenform und dahinter die Zykelschreibweise der Elemente sowie deren Ordnungen:

${\begin{array}{rcccll}e&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}&=&(1)&\qquad {\mathrm {ord}}\left(e\right)=1\\\\d&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}&=&(1~2~3)&\qquad {\mathrm {ord}}\left(d\right)=3\\\\d^{2}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}&=&(1~3~2)&\qquad {\mathrm {ord}}\left(d^{2}\right)=3\\\\s_{1}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}&=&(2~3)&\qquad {\mathrm {ord}}\left(s_{1}\right)=2\\\\s_{2}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}&=&(1~3)&\qquad {\mathrm {ord}}\left(s_{2}\right)=2\\\\s_{3}&=&{\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}&=&(1~2)&\qquad {\mathrm {ord}}\left(s_{3}\right)=2\end{array}}$

Eigenschaften

Keine abelsche Gruppe

Die Gruppe $S_{3}$ ist keine abelsche Gruppe, wie obiger Verknüpfungstafel entnommen werden kann; beispielsweise gilt $ds_{1}=s_{3}\neq s_{2}=s_{1}d$ . Sie ist bis auf Isomorphie die kleinste nicht-abelsche Gruppe, das heißt, jede nicht-abelsche Gruppe ist entweder isomorph zu $S_{3}$ oder hat mehr Elemente.

Untergruppen und Normalteiler

Die Untergruppen neben den trivialen Untergruppen $\{e\}$ und $S_{3}$ selbst sind:

$A_{3}:=\left\{e,d,d^{2}\right\}\cong \mathbb{Z } /3\mathbb{Z }$ . Diese Untergruppe ist ein Normalteiler und wird auch als alternierende Gruppe vom Grad 3 bezeichnet.
$\{e,s_{1}\}\cong \{e,s_{2}\}\cong \{e,s_{3}\}\cong \mathbb{Z } /2\mathbb{Z }$ . Diese Untergruppen sind keine Normalteiler; beispielsweise ist $d\{e,s_{1}\}d^{{-1}}\,=\,d\{e,s_{1}\}d^{2}\,=\,\{e,s_{2}\}$ .

Erzeuger und Relationen

Man kann Gruppen auch dadurch beschreiben, dass man ein Erzeugendensystem und Relationen, die die Erzeuger erfüllen müssen, angibt. Erzeuger und Relationen notiert man, durch das Zeichen | getrennt, in spitzen Klammern. Die Gruppe ist dann die von den Erzeugern erzeugte freie Gruppe modulo dem von den Relationen erzeugten Normalteiler. In diesem Sinne ist:

$S_{3}=\langle d,s\mid d^{3},s^{2},dsds\rangle$

Irreduzible Darstellungen

Bis auf Äquivalenz hat die $S_{3}$ drei irreduzible Darstellungen, zwei eindimensionale und eine zweidimensionale. Zur Angabe dieser Darstellungen genügt es, die Bilder von und $s_{1}$ anzugeben, denn diese Elemente erzeugen die Gruppe.

Die triviale Darstellung: $S_{3}\rightarrow \mathbb{C} :\,\,d\mapsto 1,s_{1}\mapsto 1$
Die Signum-Abbildung: $S_{3}\rightarrow \mathbb{C} :\,\,d\mapsto 1,s_{1}\mapsto -1$
Die zweidimensionale Darstellung: $S_{3}\rightarrow M_{2}(\mathbb{C} ):\,\,d\mapsto {\begin{bmatrix}e^{{2\pi i/3}}&0\\0&e^{{-2\pi i/3}}\end{bmatrix}},s_{1}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ .

Zwar erhält man eine andere zweidimensionale Darstellung, wenn man $s_{1}$ durch $s_{2}$ ersetzt, aber diese ist äquivalent zur angegebenen. Diese Überlegungen führen zu folgender Charaktertafel:^[2]

$S_{3}$

$\chi _{1}$
$\chi_2$
$\chi_3$		$0$

Weitere Beispiele

Allgemeine lineare Gruppe über ℤ/2

Die allgemeine lineare Gruppe 2-ten Grades über dem Restklassenkörper $\mathbb{Z } /2={\mathbb {F}}_{2}=\{0,1\}$ ,

$GL(2,{\mathbb {F}}_{2})=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}}\right\}$

ist isomorph zur $S_{3}$ .

Transformationengruppe

Die gebrochen linearen Funktionen $s_{1},s_{2}$ mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper und den Zuordnungen^[3]

$s_{1}:$	$X\mapsto 1-X$
$s_{2}:$	$X\mapsto X^{{-1}}$

erzeugen mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung eine Gruppe , die isomorph zur $S_{3}$ ist. Die übrigen 4 Gruppenmitglieder sind:

$d:=s_{1}\circ s_{2}:$	$X\mapsto {\tfrac {X-1}{X}}$
$s_{3}:=d\circ s_{1}=s_{2}\circ d:$	$X\mapsto {\tfrac {X}{X-1}}$
$d^{{2}}:=d\circ d=s_{2}\circ s_{1}:$	$X\mapsto {\tfrac {1}{1-X}}$
$d^{{3}}:=d\circ d^{{2}}=e:$	$X\mapsto X$

Die Verknüpfungstafel ist wie oben.
Die 6 Gruppenmitglieder $s\in G$ unterscheiden sich bei einer Einsetzung von Elementen $x\in K\!\setminus \!\{0,1\}$

$s_{K}:x\mapsto s_{K}(x):=s(x)$

auch in den Wertetabellen, wenn wenigstens 5 Elemente hat.

Automorphismengruppe

Die $S_{3}$ ist isomorph zur Automorphismengruppe der kleinschen Vierergruppe. Das ergibt sich leicht aus der Beobachtung, dass jede Permutation der drei Elemente der Ordnung 2 der kleinschen Vierergruppe einen Automorphismus definiert.

Anmerkungen

↑ Diese Reihenfolge kommt von der Operatorenperspektive, wie sie bei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen (so auch bei den Permutationen) vorherrscht. Für die pure Gruppentheorie ist die Reihenfolge unerheblich.
↑ Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Beispiel 9.7.1 b
↑ Ist der Körper der komplexen Zahlen, genauer: die riemannsche Zahlenkugel, dann handelt es sich um Möbiustransformationen.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de